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采用三維有限元方法進行斜齒輪接觸應力分析

發布于:2021-07-26 10:09:04

采用三維有限元方法進行斜齒輪接觸應力分析
采用三維有限元方法來計算斜齒輪的接觸應力。我們對接觸應力與齒廓修正量之間的關系進行了研究,得出以下結論:(i)斜齒輪的齒硬度可以通過當量正齒輪的齒硬度來判定。(ii)齒頂應力降低可以導致修正出發點的應力局部增加。(iii)斜齒輪的公道齒廓修正量約為當量正齒輪的齒撓曲量的1.5 倍。
關鍵詞: 機械元件、齒輪、有限元方法、接觸題目、斜齒輪、齒廓修正
1. 簡介
對于高速、大功率的齒輪傳動裝置來說,刮傷的阻力(指抓取齒面造成的損傷)決定了可以傳輸的功率。人們普遍使用PV 值來計算刮傷的阻力,PV 值是接觸應力和齒面滑動速度的乘積,應該與齒面的摩擦熱成一定比例。但是,人們通常以為,通過PV 值計算的刮傷界限不能提供令人滿足的經驗證據。因此,在復雜情況下,包括齒頂邊沿嚙合或齒廓修正發生中斷時,即使同時發生的嚙合線上的應力分布也不可能完全計算出來。
另一方面,目前甚至一些大型系統也采用有限元方法來計算實際速度,這種方法不需要使用特殊的邊界條件來解決上述此類題目,而且在分析過程中不會發生復雜情況,因此非常適合計算嚙合線上的應力分布。
因而,此次研究將三維有限元方法應用于斜齒輪的接觸應力分析中。通過優化網狀結構,我們可以成功地獲得較小模型的邊界條件設置和計算接觸應力的方法以及嚙合線上的應力分布。此外,我們還對接觸應力分布上的齒廓修正量的變化結果做了研究。我們還對確定最佳齒廓修正量進行了嘗試,這種嘗試依據的條件是:假設齒面上PV 值達到最大時的位置是刮傷的起始位置。
參考(1)中提出了用于接觸分析的有限元方法程序,此次分析采用這種程序。該程序針對線性靜態分析法而設計。
2. 分析方法
圖1 顯示的是分析中使用的一種模型范例。通過設定邊界條件可以對齒輪的負載條件進行模擬,邊界條件對沿著三個軸方向的平面A1、A2、A3 中的節點做出限制,并對沿著齒輪圓周方向的平面B1、B2、B3 中的節點給出規定的位移。平面B1 和B2 的規定位移是根據齒輪的徑向位置來決定的。
齒面的網絲外形是根據嚙合線必須穿過節點(如圖2 所示)這種方式建造的。
特定齒上負載的分配與規定位移相適應,而這種負載的分布實在是一種與嚙合齒輪接觸的節點產生的反作用力。因此齒輪軸四周產生的轉矩從與軸垂直的平面中節點力F 的Fxyi 分力總和中獲得(沿著嚙合線方向,如公式(1)所示):
其中,rg 為基圓半徑。目前由于計算機的功率和速度有限,只能對單對齒做出分析。因此,當兩對或兩對以上的齒同時嚙合時,可以采用嚙合點上假定相同的規定位移進行計算,這些嚙合點在作用線上相隔一個基圓節距。嚙合點上假定有相同的規定位移時,每個齒面上便會產生與位移量和齒硬度一致的反作用力,因此硬度的影響隨著嚙合位置的不同而不同,該計算中自動包含了這種影響。因此,軸轉矩為每個嚙合點上獲得的所有轉矩之和。
計算接觸應力的程序如下。假如采用有限元分析方法直接獲得接觸應力,則相當于0.1 mm的一赫茲接觸寬度必須分成可接受的細絲網狀,這樣可以使分析模型的范圍更加廣泛。因此,在此次研究中,接觸應力是根據每個節點的規定位移產生的節點力Fi及同一節點的接觸長度Li計算得來的(如公式(2)及圖4 所示):
R1=RS1/cos βg
􀃧 R2=RS2/cos βg
其中,Rs 為與軸垂直的平面中齒面的曲率半徑(mm),βg為基圓柱螺旋角(deg),E 為楊氏模數(N/mm2),ν 為泊松比(橫向變形系數)。標在下角的1 和2 分別代表主動齒輪和從動齒輪。
圖5 顯示的是嚙合線上節點的排列外形。齒面上的節點用閉合的圓表示,嚙合齒面上的節點用開口的圓表示。當面元素ABCD 內部形成負載傳輸節點對 A-a' 或 C-c'時,本次分析使用的程序可以根據 a' 或c'的位置將節點力分配給節點A、B、C 和D。在這種情況下,節點B 和D 上的反作用力不為零;因此,僅根據節點A 和C 上的反作用力無法計算接觸應力。但是本次采用的有限元模型中,節點對總是交迭產生 A-a 或 C-c。因此,節點B 和D 上的反作用力為零,所以上述方法有效。
3. 分析結果和討論
3-1 分析模型
表1顯示的是計算中用到的齒輪規格。 齒輪對具有相同的模數、齒數及齒寬,但螺旋角各不相同,分別為30、20、10 度。下文中,這些齒輪分別稱為β30、β20、β10。
主動齒輪和從動齒輪的齒頂設定相同的齒廓修正量。端面齒廓上接觸條件改變時(指雙對嚙合變為單對嚙合),修正開始,并且呈線性增加至兩個齒輪的齒頂。修正量經過預先設定,因此齒頂的修正Δ為符合設定負載確當量正齒輪撓曲 δ的0、0.5、1、1.5、2 倍。
3-2 接觸應力分析結果
圖6中 (a) - (c)顯示的是齒輪β30-β10中相同嚙合線上的應力分布。圖6 右側還標明了齒面和嚙合面上嚙合線的位置。圖6 中X-軸標明了嚙合線的位置(沿著齒廓方向)。標明“頂部”處為主動齒輪的齒頂位置,標明“根部”處為齒輪與嚙合齒輪齒頂接觸的位置。
最前面的齒在所謂的外圈負載最嚴重之處完成接觸后,立即進行分析。
在負載最嚴重之處,承擔負載的齒數減少到最低,而且齒的負載條件最苛刻。樣品齒輪的總嚙合系數大于或即是2,且小于3;因此,負載最嚴重之處嚙合的齒數為2。所以,如前文所述,將獨立計算得出的齒1和齒2接觸位置上的反作用力相加,可以計算出傳輸功率。在實際計算過程中,可以確定規定位移量,因此表1 中的預設定負載與根據反作用力之和計算得出的負載相吻合。
對于未修正的齒廓,如圖6 中用開口圓標注的位置上的接觸應力最大,在這個位置上,嚙合線位于齒頂邊沿。正如我們在參考資料(例如用無窮寬懸梁代替輪齒這種方法來計算嚙合線上的負載分布(2),以及圓筒端面插進平面中的凹口題目(3))中所討論的那樣,在齒頂等粗糙表面上產生的接觸應力比四周區域要高。依據齒頂斜面狀況的不同,還可能產生更大的應力。但是,由于絲網不夠細,還無法處理應力集中題目;因此,齒頂處的應力值不夠十分精確。
隨著齒廓修正量逐漸增加,齒頂的接觸應力逐漸減少。如圖2 所示,當修正量大約達到當量正齒輪撓曲 δ的1.0-1.5 倍時,齒頂不發生接觸。齒頂沒有承擔的負載向節點方向移動,峰值應力移向齒廓修正出發點的四周。
與正齒輪相比,斜齒輪的齒硬度很難獲得。但是,與設定負載相符合的齒撓曲量卻與當量正齒輪的撓曲具有相當的一致性。盡管該值不夠十分精確,但對于齒輪設計來說已經足夠了,而且還可以有效計算齒硬度。
3-3 采用PV值來計算齒廓的修正量
接著,我們研究了齒廓修正量與刮傷阻力之間的關系。刮傷是由于摩擦產生熱而引起的瞬間油膜破裂現象,一般在齒面上摩擦熱達到最大處可能會發生這種現象。PV 值是接觸應力和滑行速度的乘積,與單位時間內在齒面上的摩擦力所做的功成比例,所以PV 值經常被用作計算刮傷界限的一項指標。因此,我們采用PV 值作為研究最佳齒廓修正值的指標。
假設環形齒輪速度為40 m/s,將齒面相應的滑行速度與圖6 中的接觸應力分布值相乘,便可獲得圖 7 中 (a) - (c)標明的結果。當齒廓修正量小于1.0 δ時,齒頂和齒根的PV 值達到最大。隨著修正量的增加,PV 峰值向節點方向移動,而且峰值減少。即使當修正量增加至 1.5 δ或更大時,PV 最大值也只微量減少。
對這些結果做了總結。X-軸上的值是用齒廓修正量除以與設定負載一致確當量正齒輪撓曲量得來的,該值被稱為修正率。Y-軸代表相同嚙合線上的PV 最大值,被稱為 PVmax。
假如從盡力降低PVmax這個角度來考慮齒廓修正量,PVmax 接近最小值時,修正量大約與齒撓曲量相同;進一步修正僅產生稍微的額外影響。不帶齒廓修正的PVmax比修正率為1.0-1.5時的值高出2-3 倍,相當于高出負載分布4-9 倍。這個值不能簡單地轉換成刮傷阻力,由于傳遞到四周的熱量隨著齒溫的升高而增加。但是,不帶齒廓修正的齒輪與帶任意修正量的齒輪相比,刮傷阻力有很大差異,這一點我們已經討論過。
只有在齒輪β30中,修正率達到1.5或更大時,PVmax 才會增加。這是由于齒輪β30 的修正出發點離節點最遠。隨著修正量的增加,峰值接觸應力從齒頂移向節點;因此,PVmax 發生的位置也會相應變化。但齒輪之間的峰值接觸應力不會有很大差異;發生峰值應力的位置是影響PVmax的主要因素,因此才會導致上述結果。假如修正量進一步增加,齒輪β20 和β10 將顯現出類似的趨勢。
從上述研究中,我們得出以下結論。假如從刮傷阻力這個角度來確定齒廓修正量的話,1.0修正率就足夠了。但是假如考慮到誤差以及由于齒頂邊沿接觸可能導致應力集中等題目(前文已討論過),最好采用1.5 修正率。
4. 總結
采用三維有限元方法分析斜齒輪的接觸應力,分析齒廓修正對接觸應力的影響,我們獲得以下結果:
(1) 根據當量正齒輪的齒硬度可以比較精確地計算出斜齒輪的齒硬度。
(2) 齒頂沒有承擔的負載(由于齒廓修正的原因)移向修正出發點的四周。
(3) 假如考慮刮傷阻力,公道的齒廓修正量約為當量正齒輪齒撓曲的1.5 倍。

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